ราศรี สิงหเนตร เกิดที่บ้านสันป่าข่อย อำเภอเมืองเชียงใหม่ เมื่อวันที่ 3 ธันวาคม พ.ศ. 2447 เป็นบุตรของนายดวงชื่น และนางบัวจันทร์ สิงหเนตร และเป็นน้องชายของนายอินทร สิงหเนตร อดีต ส.ส.เชียงใหม่[2]

ราศรี สิงหเนตร เรียนจบชั้นมัธยมปีที่ 6 จากโรงเรียนยุพราชวิทยาลัย จากนั้นเข้าศึกษาต่อที่โรงเรียนนายร้อยทหารบก จนจบชั้นนายดาบ จากนั้นจึงเข้ารับราชการทหาร ต่อมาจึงออกจากราชการมาลงทุนซื้อรถบรรทุก ประกอบกิจการขนส่งในชื่อ "บริษัท ส.น.ช." หรือบริษัท รถยนต์สหายยานยนต์เชียงใหม่ และทำกิจการฟาร์มแพะเพื่อจำหน่ายนมแพะ

ต่อมาเมื่อเกิดสงครามเอเชียบูรพา เขาจึงกลับเข้ารับราชการทหารอีกครั้งจนได้รับแต่งตั้งยศร้อยโท

ราศรี สิงหเนตร สมรสกับนางบัวเขียว สิงหเนตร (สกุลเดิม สิงคปัญโญ) มีบุตร 1 คน คือ นายศรีเรือง สิงหเนตร และต่อมาสมรสกับนางเฉลิม สิงหเนตร (สกุลเดิม สายะนันท์) มีบุตรธิดา 2 คน คือ นางเฉลิมศรี และ ผ.ศ. ณัฐชัย สิงหเนตร และภายหลังสมรสอีกครั้งกับนางจันทร์ดี มีบุตรธิดา 3 คน คือ รศ.ศิริพร สิงหเนตร พันเอกทวีชัย สิงหเนตร และแพทย์หญิงศิวาพร จันทร์กระจ่าง

ร.ท.ราศรี เสียชีวิตด้วยโรคมะเร็ง ในวันที่ 25 เมษายน พ.ศ. 2537 อายุได้ 89 ปี